用对称原理和平衡状态分析思考数学问题

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邹生书，男，1962年12月出生，中学数学高级教师。主要从事高中数学教学、高中数学解题研究和探究性学习等。从2007年8月到2018年8月，在《数学通讯》《数学教学》《中学数学》《中学数学教学》等，二十多种学术期刊上发表解题和探究性学习文章300余篇。

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用对称原理和平衡状态分析思考数学问题

湖北省阳新县高级中学    邹生书

此文发表于《中学数学研究》（广州）2010（7）

 “对称是一个广阔的主题，在艺术和自然两方面都意义重大，很难再找到可以论证数学智慧作用更好的主题”（H.韦尔语）。

对称原理  在问题题设的条件里地位相同的未知量，可以想象他们在解答中的地位也相同，或者说在条件中没有区别，则在结论中也没有区别，在条件中对称，则在结论中也对称。

该原理其理由不是充分的，但在很多时候能使我们预测到问题的解，或者说发现解题途径。德国化学家凯库勒为了寻找苯C₆H₆的分子结构式花了十二年时间。为了解决苯的分子结构之谜，凯库勒作了多种猜测，画过各式各样的结构式，但都是条状的，没有成功。一天晚上他梦见了一条蛇咬住自己的尾巴跳舞，灵感出现：“应画环形结构”，他花了整夜工夫终于弄清了苯的六角环形结构式。这是因为条状结构中六个碳有首尾之分地位是不平等的，只有环状结构“圆桌会议”中六个碳的地位才是平等的。如果凯库勒早知对称原理并能运用此原理寻找苯的分子结构式，很有可能象凯库勒产生灵感后一样，只需一个晚上就能搞定苯的六角环形结构式，甚至更短。

本文笔者试图用对称原理和平衡状态分析法来思考一些具有对称性的数学问题，以期抛砖引玉，就教于方家。

1  用对称性原理速解客观题

注  本例就是《中学数学》2009年第10期刊登的文章“解答一道新题征解题”最后提出的函数值域的推广研究题。

综上可知，用对称原理和平衡状态分析思考具有对称性的数学问题是一种智慧，特别对具有对称性的选择填空题和值域问题非常有效实用，解法巧妙快捷充满哲理。有些选择题根据对称性原理不需解答只要观察选择支便知正确答案，有些填空题、最值问题和值域问题，只需根据对称性和平衡状态分析进行简单运算和推理比较便可成功解决。本解法不需要大动干戈地进行严密的逻辑推理，略施小技便可使小题速解、大题巧解、难题简解。该解法需要有联系的观点，还要有整体思想、直觉思维和猜想能力，既要宏观把握动态观察，又要小处入手静态处理。对称原理和平衡状态分析不仅给人一种解决具有对称特征问题的独特方法，而且思维过程还给人一种陶情益智的情感体验和美学享受。

参考文献

[1]刘云章。对苯的分子式的数学思考。《中学数学教与学》[J],2002(11)。

[2]李  晟。对称分析在速解选择题中的应用。中学数学[J],2009(11)。

[3]丁兴春。一道美国数学月刊问题的简解。中学数数月刊[J],2009(8)。

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秋  色

秋风吹过水无波，浪濯残蓬涌运河。

弦月朦胧清朗照，未知光景怎嗟哦。

      对人性不要失望，而要懂得体谅。对个性不要固执，而要能够改变。对本性不要修饰，而要恢复原来。想不如做，说不如行。善观于己者，必善观于人。话宜中肯，不宜好；人宜中道，不宜强。灿烂只是短暂，平淡方能长久。静静观察变化，渐渐有所体悟。有了定位，才有了方向；有了实力，才有了希望。

（以上诗文由汪跃中老先生提供）